无穷小比阶

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无穷小比阶

趋向零的速度

  • 高阶无穷小
    如果 α\alpha 是 β\beta 的高阶无穷小：

    lim⁡x→0α(x)β(x)=0\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0

  • 低阶无穷小
    如果 α\alpha 是 β\beta 的低阶无穷小：

    lim⁡x→0α(x)β(x)=∞\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty

  • 同阶无穷小
    如果 α\alpha 和 β\beta 是同阶无穷小：

    lim⁡x→0α(x)β(x)=c≠0\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0

  • 等价无穷小
    如果 α\alpha 和 β\beta 是等价无穷小：

    lim⁡x→0α(x)β(x)=1\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1

    记为 α(x)∼β(x)\alpha(x) \sim \beta(x)

  • K阶无穷小
    如果 α\alpha 是 βk\beta^k 的 K阶无穷小：

    lim⁡x→0α(x)[β(x)]k=c≠0,k>0\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = c \neq 0, k > 0

注意：并不是任意两个无穷小都可以比阶。

常用的等价无穷小（背）

当 x→0x \to 0 时：

sin⁡x∼x,tan⁡x∼x,arcsin⁡x∼x,arctan⁡x∼x,ln⁡(1+x)∼x\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x, \quad \ln(1+x) \sim x ex−1∼x,αx−1∼xln⁡α,1−cos⁡x∼12x2,(1+x)α−1∼αxe^x-1 \sim x, \quad \alpha^x -1 \sim x\ln \alpha, \quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad (1 + x)^\alpha -1 \sim \alpha x

泰勒公式

对于 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处 n阶可导：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)

重要泰勒公式（背）

  • sin⁡x=x−16x3+o(x3)\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)
  • sec⁡x=1+x22+o(x3)\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^3)
  • arcsin⁡x=x+16x3+o(x3)\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)
  • cos⁡x=1−x22+x44!+o(x4)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)
  • tan⁡x=x+x33+o(x3)\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
  • arctan⁡x=x−x33+o(x3)\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)
  • ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
  • ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)
  • (1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+o(x2)(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + o(x^2)

两个重要极限（背）

  • lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
  • lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e
  • lim⁡x→∞xsin⁡1x=1\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1
  • lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e

不特殊的特殊用法

lim⁡x→∞(1+2x)x=lim⁡x→∞(1+112x)12x⋅2=e2\lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{2}{x} \right)^x=\lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{1}{\frac{1}{2}x} \right)^{\frac{1}{2}x \cdot 2}=e^2 ⇒lim⁡x→∞(1+αx)x=eα\Rightarrow \lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{\alpha}{x} \right)^x=e^\alpha

无穷小运算

  • 加减法时低阶吸收高阶
  • 乘法阶数累加
  • 非零常数相乘不影响阶数

夹逼准则

  1. h(x)≤f(x)≤g(x)h(x) \leq f(x) \leq g(x)
  2. lim⁡g(x)=A,lim⁡h(x)=A  ⟹  lim⁡f(x)=A\lim g(x) = A, \lim h(x) = A \implies \lim f(x) = A

函数极限的计算

  1. 化简
    • 提出极限不为零的因式
    • 等价无穷小代换
    • 恒等变换
  2. 判断运算类型
  3. 选择方法（洛必达法则、泰勒公式、夹逼准则）

函数的连续与间断

  • 两个函数在 x=x0x=x_0 连续，那么和差积商也连续
  • 复合函数连续
  • 反函数连续

第一类间断点

  • 可去间断点，两边不等于 f(x0)f(x_0)
  • 跳跃间断点，两边不相等

第二类间断点

  • 无穷间断点
  • 震荡间断点
x→0+, (1+x)1x−e∼−e2xx \to 0^+,\ (1+x)^ \frac{1}{x}-e \sim-\frac{e}{2}x