一元函数微分

$$f'(x_{0})=\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(x_{0} +\Delta x)-f(x_{0} )}{\Delta x}$$ $$f'(x_{0})=\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)-f(x_{0} )}{x-x_{0}}$$

奇函数

$$\ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln(1-x)$$ $$\frac{1}{a^x+1}-\frac{1}{2}$$

可导充要条件，左右导数存在且相等

$$F(x)=f(x)|x-a|, \ f(a)=0 \Leftrightarrow \ F(a)在x=a可导$$

微分概念

$$dy\big| _{x=x_{0}}=f'(x_{0})dx$$

可导$\Leftrightarrow$可微

$$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$$ $$\Delta y=A \Delta x+o( \Delta x)$$ $$A \Delta x=f'(x_{0})\Delta x$$ $$\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\Delta y - A \Delta x}{\Delta x}$$

极限为零可微

基本求导公式

$$(x^\alpha)'= \alpha x^{\alpha -1}$$ $$(\alpha^x)'=\alpha^x\ln \alpha$$ $$(e^x)'=e^x$$ $$(\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a}$$ $$(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$$ $$(\sin x)'=\cos x$$ $$(\cos x)'=-\sin x$$ $$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$$ $$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$$ $$(\tan x)'=\sec^2x$$ $$(\cot x)'=-\csc^2x$$ $$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$ $$(\text{arccot}\ x)'=\frac{1}{1+x^2}$$ $$(\sec x)'=\sec x \tan x$$ $$(\csc x)'=-\csc x\cot x$$ $$\ln(x+\sqrt{ x^2+1 })'=\frac{1}{\sqrt{ x^2+1 }}$$ $$\ln(x+\sqrt{ x^2-1 })'=\frac{1}{\sqrt{ x^2-1 }}$$ $$\ln(x+\sqrt{ x^2+\alpha^2 })'=\frac{1}{\sqrt{ x^2+ \alpha^2 }}$$

四则运算

$$[u(x)\pm v(x)]'=u(x)'\pm v(x)'$$ $$[u(x)v(x)]'=u(x)'v(x)+u(x)v(x)'$$ $$\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]'=\frac{u(x)'v(x)-u(x)v(x)'}{v(x)^2},v(x)\neq 0$$

连乘

$$\prod^{n}_{1=0}$$

反函数的导数

$$y'_{x}=\frac{1}{x'_{y}}$$ $$y''_{x x}= -\frac{ x''_{y y }}{(x'_{y})^3}$$ $$x''_{yy}= -\frac{ y''_{xx }}{(y'_{x})^3}$$

常用高阶求导

$$(e^{ax+b})^{(n)}=a^n e^{ax+b}$$ $$[\sin(ax+b)]^{(n)}=a^n\sin\left( ax+b+\frac{n\pi}{2} \right)$$ $$[\cos(ax+b)]^{(n)}=a^n\cos\left( ax+b+\frac{n\pi}{2} \right)$$ $$[\ln(ax+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n \frac{(n-1)!}{(ax+b)^n}$$ $$\left( \frac{1}{ax+b} \right)^{(n)}=(-1)^na^n \frac{n!}{(ax+b)^{n+1}}$$

莱布尼茨公式

$$(u\pm v)^{(n)}=u^n\pm v^n$$ $$(uv)^{(n)}=\sum^{n}_{k=0}C_{n}^ku^{(n-k)}v^{(k)}$$

\

泰勒公式

$$y=f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n$$ $$y=f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n$$

已知公式

$$e^x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$$ $$\frac{1}{1+x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^nx^n$$ $$\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n$$ $$\ln(1+x)=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$$ $$\sin x=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$\cos x=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha+1-n)}{n!}x^n$$ $$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+\dots$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\dots$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\dots$$

排列组合

$$排列的公式：A^m_{n}=\frac{n!}{(n-m)!}（n为下标，m为上标,以下同）。$$ $$组合的公式：C^m_{n}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$